GL(2,p)와 SL(2,p)의 위수

먼저 \(GL(2,p)\)와 \(SL(2,p)\)가 뭐였는지부터 상기해보자. 이 글에서 \(p\)는 소수를 나타내기로 하고, \(\mathbb{F}_p\)는 원소의 개수가 \(p\)인 유한체를 뜻한다.

정의(?). 각 성분이 모두 유한체 \(\mathbb{F}_p\)의 원소인 \( 2 \times 2 \) 행렬들의 집합을 \(M_{2 \times 2}(\mathbb{F}_p)\)이라 하자. \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2 \times 2}(\mathbb{F}_p)\)가 주어졌을 때, \(A\)의 행렬식을 \(\det A\)라 쓰고, \(\det A = ad-bc\)로 정의(?)한다. 이제, 

$$ \begin{align} GL(2,p) &:= \left\{ A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{F}_p) \, \Big| \, \det A \neq 0 \right\} \\ SL(2,p) &:= \left\{ A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{F}_p) \, \Big| \, \det A = 1\right\}\end{align} $$

이라 한다.

여기에서는 대수학의 지식을 최대한 사용하지 않고(엥??) \(\mathbb{F}_p\)의 \(0\)이 아닌 원소는 '역수'가 유일하게 존재한다는 사실만을 이용하여 \(\left| GL(2,p) \right|\)과 \(\left| SL(2,p) \right|\)을 구해보려고 한다. 

먼저 \(\left| GL(2,p) \right|\)을 구해보자. \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)이라 놓고, \(A \in GL(2,p)\)이 되게 하는 \((a, b, c, d)\)의 개수를 세고자 한다. 즉, \(ad-bc \neq 0\)을 만족하는 \((a, b, c, d)\)의 개수를 세면 되겠다. 일단, \(a=b=0\)이면 항상 \(ad-bc = 0\)이 된다. 따라서 \(a \neq 0\) 또는 \(b \neq 0\)인 경우만 생각하면 되는데, 편의상 \(b\neq 0\)이라고 하자 (\(a \neq 0\)인 경우는 \(a\)와 \(b\)의 역할을 바꾸어서 똑같이 생각하면 된다). 그러면 식의 양변을 \(b\)로 나눌 수 있게 된다. 따라서 \(ad-bc\neq 0\)은 \( (ab^{-1}) d \neq c\)와 동치인 식이 된다. 그런데 여기에서 \(d\)가 어떤 값이 되는 지에 상관 없이 값이 정해지면 \( (ab^{-1}) d = c\)를 만족하는 \(c\)는 (당연히!) 유일하므로 \((ab^{-1}) d \neq c\)을 만족하는 \(c\)의 값은 \(p - 1\)가지가 된다. 따라서 \( (a, b) \)이 가능한 경우의 수 \(p^2 - 1\)에, \(d\)가 될 수 있는 경우의 수 \(p\)와 그에 따라 \(c\)가 가질 수 있는 경우의 수 \(p - 1\)를 곱하면

$$   \left| GL(2,p) \right| = (p^2 - 1) p (p-1) = (p^2-1)(p^2-p)$$

를 얻는다.

이제 \(\left| SL(2,p) \right|\)를 구하려면 \(GL(2,p)\)의 원소들 중 행렬식이 \(1\)이 되는 것들만 갯수를 세면 된다. 먼저, 위 문단에서 \(a\)와 \(b\)가 동시에 \(0\)이 될 수 없다는 것을 알았다. 이제 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,p)\)가 있을 때, 각 \(k \in \mathbb{F}_p \setminus \{0\}\)에 대해 \( \begin{pmatrix} ka & kb \\ c & d \end{pmatrix} \)인 것들을 모두 한 묶음으로 묶자 (이산수학을 안다면, \(GL(2, p)\)에 equivalence relation을 주어 equivalence class를 생각하자는 것이다). 그러면 \(a\)와 \(b\)가 동시에 \(0\)이 아니기 때문에 

$$ k_1 \neq k_2 \quad \Longrightarrow \quad \begin{pmatrix} k_1 a & k_1 b \\ c & d \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} k_2 a & k_2 b \\ c & d \end{pmatrix} $$

임을 알 수 있다. 특히, \(k = 1\)이면 \(\begin{pmatrix} k a & k b \\ c & d \end{pmatrix}\)은 다시 \(A\)가 되므로, 한 묶음으로 묶인 행렬들은 모두 다른 행렬임을 알 수 있고, 더불어 각 묶음에는 행렬이 \(p - 1\)개씩 있다는 것 또한 알 수 있다. 게다가, 

$$\det \begin{pmatrix} k a & k b \\ c & d \end{pmatrix} = kad-kbc = k\det A $$

이고 \( \det A\)의 역수는 유일하므로 각 묶음에 있는 행렬들 중 행렬식이 \(1\)이 되는 행렬은 유일하게 존재함을 알 수 있다. 

지금까지의 논의를 정리하면, 우리는 \(GL(2,p)\)의 원소인 행렬들을 겹치지 않게 \(p-1\)개씩 묶음으로 묶었고, 각 묶음에서 행렬식이 \(1\)인 원소, 즉 \(SL(2,p)\)에도 들어있는 원소는 딱 하나씩 존재한다는 것을 알았다. 따라서

$$ \left| SL(2,p) \right| = \frac{\left| GL(2,p) \right|}{p-1} = p(p^2-1) $$

임을 알 수 있다.