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체비셰프 다항식과 단위원판 위에서 최댓값이 가장 작은 다항식
체비셰프 다항식을 정의하는 방식에는 여러가지가 있지만 가장 자주 사용되는 정의는 \(-1\leq x\leq 1\)에서 $$ T_n(x) = \cos(n \cos^{-1} x) $$을 만족하는 \(n\)차 다항식 \(T_n(x)\)으로 정의하는 것이다. 예를 들어, $$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $$이므로 \(T_3(x) = 4x^3-3x\)이 되는 식이다. 이렇게 정의를 했을 때 \(T_n(x)\)가 실제로 다항식이 되며 최고차항의 계수가 \(2^{n-1}\)이 된다는 것 등은 잘 알려져 있는 사실이다. 이는 \(T_0(x) = 1\), \(T_1(x) = x\)라는 사실과 함께 체비셰프 다항식들 사이에 성립하는 점화식$$ T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-..
수학/해석학
2020. 10. 14. 01:58