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체비셰프 다항식을 정의하는 방식에는 여러가지가 있지만 가장 자주 사용되는 정의는 \(-1\leq x\leq 1\)에서 $$ T_n(x) = \cos(n \cos^{-1} x) $$을 만족하는 \(n\)차 다항식 \(T_n(x)\)으로 정의하는 것이다. 예를 들어, $$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $$이므로 \(T_3(x) = 4x^3-3x\)이 되는 식이다. 이렇게 정의를 했을 때 \(T_n(x)\)가 실제로 다항식이 되며 최고차항의 계수가 \(2^{n-1}\)이 된다는 것 등은 잘 알려져 있는 사실이다. 이는 \(T_0(x) = 1\), \(T_1(x) = x\)라는 사실과 함께 체비셰프 다항식들 사이에 성립하는 점화식$$ T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-..
한국어로 쓰인 해석학 책 중 하나를 꼽으라고 하면 아마 다들 해석개론(김성기, 김도한, 계승혁)을 꼽지 않을까 싶은데요. 한국어로 된 전공 수준의 수학책 자체가 많이 없는 데다가 그 와중에 일부 책은 내용이 어째 좀 영 메롱(?)인... 그런 안타까운 현실에 처해 있는 한국어 수학책 시장이지만 해석개론만큼은 그래도 훌륭한 책이라고 다들 인정하는 것 같습니다. 일반적으로 수학책이 좋은 평가를 받기 위해서는 내용의 구성이나 설명이 잘 되어 있는지도 큰 비중을 차지하지만, 그에 버금가게 중요한 것이 수록된 연습문제 아닐까 싶습니다. 그런데 여러모로 악명 높은 루딘의 PMA도 그렇고, 이 해석개론도 그렇고 연습문제가 꽤 까다롭다...는 것도 중론인 듯합니다. PMA는 워낙 전 세계적인 인기와 증오가 있는 교재이..
먼저 \(GL(2,p)\)와 \(SL(2,p)\)가 뭐였는지부터 상기해보자. 이 글에서 \(p\)는 소수를 나타내기로 하고, \(\mathbb{F}_p\)는 원소의 개수가 \(p\)인 유한체를 뜻한다. 정의(?). 각 성분이 모두 유한체 \(\mathbb{F}_p\)의 원소인 \( 2 \times 2 \) 행렬들의 집합을 \(M_{2 \times 2}(\mathbb{F}_p)\)이라 하자. \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2 \times 2}(\mathbb{F}_p)\)가 주어졌을 때, \(A\)의 행렬식을 \(\det A\)라 쓰고, \(\det A = ad-bc\)로 정의(?)한다. 이제, $$ \begin{align} GL(2,..
멱급수 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) z^n \)를 생각해보자. 이 급수는 언제 수렴할까? 수렴한다면 그 값은 구할 수 있을까? 멱급수 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} a_n z^n \)이 주어졌을 때, 이 멱급수의 수렴반경 \(R\)은 $$ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left| a_n \right|^{1/n} $$으로 주어짐을 상기하자. 일단 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\left| \sin n \right| \leq 1 \)인 것은 알고 있다. 게다가, \(\pi\)가 무리수라는 것은 기발한 아이디어를 이용한다면 미적분학 수준..
선형대수학 책을 추천해달라는 요청에 많은 사람들이 Friedberg-Insel-Spence > 이인석 > Hoffman-Kunze 순으로 추천해주는 듯 하다. 그 중에 선형대수와 군(이인석)은 한국어로 된 데다가 내용이 다른 책들에 비해 꿇리지도 않고, 수준도 어느정도 있어 많은 사람들이 좋아하는 것으로 보인다. 선형대수와 군 책 표지를 보면 웬 숫자들이 배열되어 있고 색이 칠해져 있는 것을 볼 수 있다. 많은 사람들이 어련히 다 뜻이 있겠거니, 아니면 예쁘도록 아무렇게나 대충 잘 배치해놨겠거니, 하면서 별 신경을 쓰고 있지는 않는 것 같다. 하지만 저자의 말에 따르면 표지 디자인 또한 연습문제로써 만들어 놓았다는 것 같다. (오오...) 여기에 다시 쓰자면, 표지에 있는 숫자들은 가로로 열 칸씩 숫자 ..