\( \sum _ {n = 1} ^ {\infty} (\sin n) z^n \)

멱급수 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) z^n \)를 생각해보자. 이 급수는 언제 수렴할까? 수렴한다면 그 값은 구할 수 있을까?

멱급수 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} a_n z^n \)이 주어졌을 때, 이 멱급수의 수렴반경 \(R\)은 

$$ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \left| a_n \right|^{1/n} $$

으로 주어짐을 상기하자. 일단 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\left| \sin n \right| \leq 1 \)인 것은 알고 있다. 게다가, \(\pi\)가 무리수라는 것은 기발한 아이디어를 이용한다면 미적분학 수준으로도 보일 수 있는 사실이고, \(\sin x = 0\)이거나 \(\sin x = \pm 1\)이려면 \(x\)가 \(\pi / 2\)의 정수곱이어야 하므로 \(0 < \left| \sin n \right| < 1 \)인 것 까지도 알 수 있다. 따라서 \(0 < \left| \sin n \right|^{1/n} < 1 \)인데, 음... 골치가 벌써 아프다.

여기까지 온 다음에 비둘기집의 원리를 잘 (Dirichlet Approximation Theorem이라던가 \(\{\sin n | n \in \mathbb{N}\}\)이 \([-1,1]\)에서 dense하다는 것을 보인다던가...) 써서 열심히 헤쳐나갈 수도 있다는 것 같지만... 좀 다른 방법으로 풀어보려고 한다. 참고로, Complex Analysis, 3rd Ed., Bak&Newman을 공부하던 중에 저 멱급수의 수렴반경을 구하라는 문제를 보았는데, 대부분의 연습문제에 풀이를 제공하는 책임에도 불구하고 이 문제는 풀이가 실려있지 않은 문제들 중 하나이다(...). 지루한 계산 문제들 사이에 잠시 생각해볼 만한 은근히 까다로운 문제를 넣어 놓은 저자의 정성(?)에 감동하며...

수렴반경이 의미하는 것에 대해 생각해보자. 어떤 실수열에 대해서도 상극한은 항상 존재하기 때문에, 멱급수가 주어지면 그 멱급수의 수렴반경 \(R\)은 언제나 구할 수 있다. 그리고, \(R\)은 다음과 같은 성질을 가진다: \(\left| z \right| < R \)인 \(z\)에 대해서는 멱급수가 수렴하고, \(\left| z \right| > R \)인 \(z\)에 대해서는 멱급수가 발산한다. 

이를 염두에 두고, \( \left| z_0 \right|  = R_0\)인 어떤 \(z_0\)에 대해 멱급수가 발산했다고 해보자. 그럼 그 멱급수의 수렴반경 \(R\)은 적어도 \( R \leq R_0\)이어야 함을 알 수 있다. 만약 \( R > R_0\)이었다면 \(\left| z_0 \right|  < R\)이기 때문에 멱급수가 수렴했어야 하기 때문이다. 

따라서 \( \sum _ {n = 1} ^ {\infty} (\sin n) \)이 수렴하지 않음을 보이면, (처음에 주어진 멱급수에서 \(z= 1\)인 경우임에 주목해서,) \( R \leq 1\)임을 보일 수 있다. 드디어(!) "곱을 합차로 바꾸는 공식"이 쓸모 있을 때가 되었다...

$$ -2(\sin n)\left(\sin \frac12\right) = \cos \left( n + \frac12 \right) - \cos \left( n - \frac12 \right) $$

이므로, 양변을 \( -2 \sin \frac12 \)으로 나누고 \(n = 1\) 부터 \(k\)까지 더하면 망원급수 꼴이 되므로 

$$ \sum _{n=1}^k \sin n = \frac{\cos \frac{2k+1}2 - \cos \frac{1}{2}}{-2\sin \frac{1}{2}} $$

이 되고, \( k \to \infty \)일 때 \(\cos \frac{2k+1}2\)가 진동하므로 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) = \displaystyle{ \lim _{k \to \infty} \sum _ {n = 1} ^ {k}} (\sin n) \)가 수렴할 수 없음을 알 수 있다. 

그럼 이제 \( \left| z \right| < 1\)인 모든 \(z\)에 대해 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) z^n \)이 수렴함을 보이면 수렴반경의 성질에 의하여 \( R \geq 1\)임을 알 수 있으므로 위에서 얻은 결과와 함께 \(  R = 1\)이 되겠다. 음... 복소해석학 책에서 가져온 문제니까 복소해석학의 힘을 좀 빌려야겠다.

\(\sin n\)은 실수임에 주목하자. \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) \left|z\right|^n \)이 수렴하는 것은 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) z^n \)이 절대수렴할 조건이므로 앞의 급수가 수렴하면 뒤의 급수 또한 수렴한다는 것을 알 수 있다. 따라서, \(\left|z\right| = r\)이라 놓고 어떤 \(r\)에 대해 \( \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) r^n \)이 수렴하는 지 알아볼 것이다. 드무아브르의 공식

$$ \cos ( n \theta) + i \sin (n \theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n $$

에 \(\theta = 1\)을 대입하면 \(\cos n + i \sin n = (\cos 1 + i \sin 1)^n \)을 얻는다. 따라서 사실 주어진 급수는 

$$ \displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) r^n  = \text{Im}\left(\displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\cos 1 + i \sin 1)^n r^n\right)  $$ 에서 알 수 있듯이 기하급수의 허수부였던 것이다. 그런데, 복소수열 \( \{z_n\} _ {n \in \mathbb{N}}\)가 수렴하는 것은 실수부 \(\text{Re} z_n \)과 허수부 \(\text{Im} z_n \)이 둘 다 수렴하는 것과 동치이기 때문에, \(\displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\cos 1 + i \sin 1)^n r^n\)이 수렴하면 \(\text{Im}\left(\displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\cos 1 + i \sin 1)^n r^n\right) \)이 수렴하게 된다. 기하급수가 수렴할 조건을 이용하면, \(\left| r (\cos 1 + i \sin 1) \right| < 1\)일 때 수렴한다는 뜻인데, \(\left|\cos 1 + i \sin 1\right| = 1\) 이다. 즉, \(r < 1\) 이면 \(\displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) r^n \)이 수렴한다. 따라서, \(\left|z\right|<1\)이면 \(\displaystyle{\sum _ {n = 1} ^ {\infty}} (\sin n) z^n \)이 수렴한다!

바로 위에서 사용한 아이디어를 이용하면 한 발 더 나아가 급수의 값 또한 구할 수 있다. 기하급수의 공식을 이용하면 

$$ \displaystyle{\sum _ {n = 0} ^ {\infty}} (\cos 1 + i \sin 1)^n z^n = \frac{1}{1-z(\cos 1 + i \sin 1)} $$

이고, 끈기있게 계산해서 분모를 실수화 하면

$$ \frac{1}{1-z(\cos 1 + i \sin 1)}   = \frac{1-z \cos 1 + i z \sin 1}{1 + z^2 -2 z \cos 1} $$

을 얻는다. 이제 허수부를 취하고, \( \sin 0 = 0\)이기 때문에 급수를 \(n=1\)부터 더하는 것으로 바꾸어도 합이 같다는 점을 이용하면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있다 : 

$$   \sum _ {n = 1} ^ {\infty} (\sin n) z^n = \frac{z \sin 1}{1 + z^2 -2 z \cos 1}.$$

마지막으로, 따름정리. 급수의 수렴반경이 \(R = 1\)임을 보였으므로 다음을 얻는다. 

$$ \limsup_{n \to \infty} \left|\sin n\right|^{1/n} = 1.$$